원의 가장자리에 닿기만 하고 통과하지 않는 직선 — 접선. 그 접점에서 중심을 향한 반지름과 접선은 정확히 수직을 이룬다. 그리고 한 외부 점에서 그어진 두 접선은 — 길이가 같다. 이 두 정리에서 외접 다각형의 모든 성질이 흘러나온다.
역으로, 어떤 직선이 원과 한 점에서 만나고 그 점을 지나는 반지름과 수직이라면 그 직선은 접선이다.
외부 점에서 원을 바라본 좌우 대칭성의 직접적 결과. 거꾸로, 한 점에서 원에 접한 두 직선은 반드시 그 점에 대해 대칭.
따름정리: 외부 점 $P$ 에서 두 접선까지의 각 $\angle APO = \angle BPO$. 즉, $\overline{OP}$ 가 두 접선이 이루는 각을 이등분한다.
원에 외접하는 다각형의 각 꼭짓점은 두 접선의 만남점. 정리 2에 의해 — 한 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리가 같다.
이 사실로 외접 다각형의 변들을 접점 단위로 분할하면, 같은 길이의 토막들이 짝지어 나타난다.
사각형 $ABCD$ 가 한 원에 외접한다면, 마주보는 두 변의 합은 같다.
증명은 정리 2의 직접 적용. 네 꼭짓점에서의 접선 길이를 $a, b, c, d$ 라 하면 네 변이 인접한 두 접선 길이의 합으로 표현되어 좌·우가 모두 $a+b+c+d$ 가 된다.
반지름 $r=6$ 고정. 외부 점 $P$ 의 위치 (중심으로부터의 거리 $\overline{OP}$) 를 조절하여 — 접선의 길이 $\overline{PT}$ 와 두 접선이 이루는 각 $\angle APB$ 가 어떻게 변하는지 관찰하라.
최단거리 논법. 접선 외 직선 위 모든 점은 원 밖이므로 OT가 최단 → OT⊥접선.
두 직각삼각형 OAP, OBP의 RHS 합동. OP가 ∠APB를 이등분.
한 꼭짓점에서 두 접점까지 거리 같다. 변을 토막으로 분해해 연립.
대변의 합이 같다: AB+CD = BC+DA. 네 변을 8개 토막으로 분해.
다음 단계 — Ⅵ-1.4 원주각과 중심각 이번 차시까지의 정리들은 모두 직선과 원의 관계에 관한 것이었다. 다음은 점과 호의 관계 — 원 위의 한 점에서 한 호를 본 각이 어떻게 결정되는가. 가장 놀라운 정리가 기다린다.